Suite géométrique de matrices colonnes (1) - Corrigé

Énoncé

Soit la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$ . On définit la suite de matrices colonnes  $(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$  par :  $U_0=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$  et, pour tout  $n\in \mathbb{N},U_{n+1}=A{U}_n$ .

1. Calculer les 3 premiers termes de cette suite.

2. Exprimer  $U_n$  en fonction de  $n$  et de  $A$ .

3. Calculer  $A^2$ .

4. Soit $k\in \mathbb{N}$ , en déduire une formule explicite de  $U_{2k}$  puis une formule explicite de  $U_{2k+1}$ .

5. Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Solution

1.  $U_0=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$  est donné.
$U_1=A{U}_0=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$  
$U_2=A{U}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right)$

2.  $U_n=A^n{U}_0$  d'après le cours.

3.  $A^2=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=3I_2$

4. D'après les questions 2 et 3,  $U_{2k}=A^{2k}{U}_0=(A^2{)}^k{U}_0=(3I_2{)}^k{U}_0=3^k{U}_0$ .
Donc  $U_{2k}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3^k\end{array}\right)$ .
Puis  $U_{2k+1}=A{U}_{2k}=\left(\begin{array}{c}{3}^k\\ -3^k\end{array}\right)$ .

5. Cette suite n'est pas convergente. En effet (par exemple), pour  $n=2k$  pair, le coefficient  $u_{2,1}(=3^k)$  diverge vers  $+\infty$ .